予算を一つの商品だけに使うときも、曲線が接する？

接しない最適点もある

違う銘柄でも本人には同じ用途を満たし、量を一定の比率で置き換えられる場合を考えます。完全代替の模型では効用をu=ax＋byと置けます。aとbは正の評価係数です。xを減らしてyを足しても、評価を同じに保てる割合が一定です。

この無差別曲線は直線です。予算線と傾きが違えば、予算線の上を一方向へ動くほど評価が高くなり、片方の数量がゼロになる端点まで進みます。そこが最適なら、曲線が滑らかに接する内点はありません。

内点の接線条件は、両方の財を正に買い、少しずつ入れ替えられる場面の条件です。買っていない財をさらに減らすことはできないため、端点では同じ両方向の変更を考えられません。数量の非負条件が最適選択へ効いています。

一円あたりの評価を比べる

価格をp_x、p_y、所得をwとすると、全部xに使う端点の効用はa×w÷p_xです。全部yならb×w÷p_yです。wが共通なので、一円あたりの評価a÷p_xとb÷p_yの大きい方へ支出を寄せればよいと分かります。

評価係数だけや単価だけを比較してはいけません。高価でも一単位の評価がそれ以上に高ければ、一円あたりでは有利です。反対に一単位の評価が同じなら、安い方が有利です。好みと購入条件を一緒に使う判定です。

確認の手順は、完全代替という好みを置き、一円あたりの評価を計算し、選んだ端点が予算を満たすか確かめることです。商品の最低購入量や数量割引があれば、この可分・一定単価の模型から作り直します。

同率なら最適な買い方は一つでない

一円あたりの評価が同じなら、xを少し買いyを少し減らしても効用は変わりません。予算を使い切る全ての混合が最適です。端点が候補に含まれることと、端点だけが唯一の最適解であることは違います。

価格と評価がぴったりそろうのは例外的な設定でも、模型の判断には必要です。「完全代替なら必ず一方だけ」と断言すると、この同率の範囲を落とします。いくつもの最適解からどれを実際に買うかは、ここでは決まりません。

固定比率で一緒に必要な完全補完の好みは別です。その場合は折れ点が最適になることがあり、同じ接線の式だけでは求められません。本記事は代替する線形の好みの端点を扱い、補完財の折れ点と混同しません。

架空の例：高い方でも一円あたりは同じ

予算12、効用u=2x＋yとします。価格xが3、yが2なら、一円あたり評価は2÷3と1÷2です。xだけ4単位を買う効用8は、yだけ6単位の効用6より高くなります。

yの価格が1.5へ下がると、一円あたり評価は両方2÷3になります。xだけ4、yだけ8、xを2とyを4のどれも効用8です。全て予算12を使い切り、同じ最高評価になります。

持ち帰る見方

• 接線条件を使う前に、最適点が内点かを確かめる。
• 線形の完全代替では一円あたりの評価を比べ、同率の複数解も残す。

次に広がる疑問

• 所得が二倍になると量も二倍になる？
• 一つの点数で表せない好みもある？

出典

• Intermediate Microeconomics, Chapter 4: Consumer Choice（Oregon State University / Patrick M. Emerson）https://open.oregonstate.education/intermediatemicroeconomics/chapter/module-4/

  確認日：2026-10-07