二つの価格表の平均で、必要な生活費も平均になる？

価格表ごとに最安の買い方を選ぶ

ある満足を得るため、AでもBでもよいとします。価格表が変わると最安の案も変わります。最低支出を求めるには、それぞれの価格表で同じ候補全体を比べ直します。旧価格で安かった案をそのまま買い続ける必要はありません。

支出関数の入力は価格表と目標効用で、出力は最低支出額です。ここでは目標効用を同じ水準へ固定し、価格表だけを動かします。違う満足の人の必要額を混ぜたり、品物の品質を替えたりする比較ではありません。

一つの購入案を固定すると、その費用は価格の線形な計算です。価格表を半分ずつ混ぜたときのその案の費用は、二つの費用の平均になります。ただし最安案を選ぶ操作まで含めると、平均との関係が変わります。

目標を満たす集合は価格の平均を取っても同じです。価格表が二つあるから満足の目標まで二つ平均する、という操作はしていません。同じ候補の最低値を三つの価格表で求めることで、不等式の比較ができます。

平均価格での最低支出は、最低支出の平均以上

平均価格で選ぶ一つの案をCとします。Cを元の二価格表でも評価できます。各価格表の最低支出は、それぞれでCを買う費用以下です。二つを平均すると、最低支出の平均はCの平均価格での費用以下になります。

平均価格でのCが最安なら、その費用が平均価格での最低支出です。したがって、平均価格での最低支出は各最低支出の平均以上です。半分ずつ以外の割合でも、同じ考えで凹性の不等式になります。

これは価格が平均的なら割高という日常の評価ではありません。二つの端ではそれぞれ別の案へ切り替えて節約できても、中間で同じだけの節約ができるとは限らない、という最適化の性質です。

二つの価格表で同じ案が最安であり、平均価格でもその案が最安なら、不等式は等号になります。価格ごとの切替えで節約できる場合に、平均との差が生まれます。凹性は常に平均より厳密に大きいという条件ではありません。

一斉の倍率変更と、価格表の平均を分ける

全ての価格を二倍にする比較は別です。全候補の費用が二倍なので、最安の案もその順位も変わらず、最低支出は二倍になります。一つの価格を上げ、別の価格を下げた価格表を混ぜる操作とは区別します。

凹性と呼んでも、価格上昇で必要支出が必ず減るという意味ではありません。全ての価格が上がれば、同じ目標への最低支出は小さくなりません。凹性は価格の平均に関する形で、上昇や下落の方向を示す言葉ではないのです。

数量割引、購入上限、品切れがあるなら、単価を掛けて同じ候補集合を比べる模型から見直します。二価格表で代替品を選べるという条件を確かめてから、不等式を使います。

同じ価格を二倍にする操作では、最安案の順位が変わりません。二価格表の平均では、その順位が切り替わる場合があります。価格に倍率を掛ける一次同次性と、平均価格を比べる凹性を、操作の違いから分けて読みます。

架空の例：安い飲み物が入れ替わる価格表

同じ満足になる一杯として茶とコーヒーを完全に代替できるとします。価格表Aは茶100・コーヒー300、Bは茶300・コーヒー100です。どちらも最安の一杯は100なので、最低支出の平均は100です。

半分ずつ混ぜた価格表では両方200になり、最低支出は200です。200は100以上で、平均と一致しません。目標を二杯にすれば各数値は二倍です。候補と必要量を固定し、価格だけを混ぜた計算です。

持ち帰る見方

• 固定案の費用の平均と、再最適化した最低支出の平均を分ける。
• 支出の凹性は価格平均の不等式で、価格上昇の方向とは別。

次に広がる疑問

• 最低支出の価格への傾きは何を表す？

出典

• Consumer Theory — MIT 14.121 (2015)（MIT OpenCourseWare / Alexander Wolitzky）https://ocw.mit.edu/courses/14-121-microeconomic-theory-i-fall-2015/ea9f11b15ace05e7bfd31d58ae48beb9_MIT14_121F15_2S.pdf

  確認日：2026-10-07