必要な生活費の増え方から、どれだけ買う量か分かる？

最低支出の傾きは、最安案の購入量

同じ満足を得る買い物の最安案で、パンを三個買うとします。パンの単価をほんの少しだけ上げたとき、最低支出額の最初の増え方は、この三個という量に対応します。最安で買い直す計算でも、元の数量が傾きに残ります。

支出関数をe、目標効用をu、パン価格をpとすると、価格への微分e_pが補償需要hに等しい、という関係です。円の支出を円/個の価格で微分するので、単位も個になります。金額だけの指標と数量を結びます。

効用が連続で、目標と価格の近くで最安の数量が一意な場合を使います。何種類かの買い方が同率で最安になる点では、価格への傾きが一つに定まらないことがあるため、一意の数量を読み出す計算へ進みません。

所得の限界効用を割って需要へ戻すRoy恒等式と違い、支出関数は最初から金額を返します。そのため価格で一回微分するだけで数量になります。同じ数量復元でも、最高効用と最低支出では使う関数が異なります。

買い方変更は、最初の傾きを消さない

価格が少し変われば、最安案の数量も動くことがあります。だから元の数量が支出の傾きになるのは、買い方を絶対に変えないという仮定の結果ではありません。選び直しを含めた最低支出に関する性質です。

最適点では、目標満足を保ちながら買い方を微小に替える余地は、最低支出を一階でさらに下げません。最適値の最初の変化は価格の直接の変更で測れます。この考えを一般に包絡線定理と呼びます。

価格以外に所得を固定しているのではなく、効用目標を固定している点が重要です。通常需要を測った表の数量を、そのまま同じShephard補題へ代入するには、対応する効用目標をそろえる必要があります。

目標効用を保つ候補の集合は、価格が小さく変わっても同じです。その集合の中で費用の順位を選び直します。価格変更と同時に効用目標も変えると、最適値への直接の影響がもう一つ加わり、この一価格の式では測れません。

大きな値上げは、一点の傾きだけで測らない

有限の値上げでは、途中の価格ごとに最安の数量が変わりえます。最初の傾きに全値上がり幅を掛けると近似にはなっても、正確な追加支出とは限りません。小さい変更での一次近似と、全体の差額を分けます。

また完全代替品が同価格になる点では、少しの値上げで購入先が丸ごと入れ替わります。最低支出は連続でも、そのグラフには折れ目ができます。折れ目の左と右の傾きが異なる例は、一意性の条件を確かめる理由になります。

必要生活費の感応度を読むときは、対象の価格、守る満足、最安案の一意性、変化幅をそろえます。実際の家計支出が固定された数量なのか、再最適化した最低支出なのかも別に確認します。

例で価格4から9へ進む間、最安のx量は3から2へ減ります。元の3個をずっと買う計算より追加支出が小さいのは、この切替えを含むためです。最初の傾きが3であることと、全区間の数量が3であることは違います。

架空の例：小さい値上げと大きい値上げを比べる

効用√(xy)の目標を6へ固定し、y価格1、x価格4とします。最低支出はe=12√p_xなので24、補償需要xは6/√p_xなので3です。価格4での支出の傾きも3になります。

x価格を4.01へ上げると追加支出は12(√4.01−2)で約0.030です。傾き3に0.01を掛けた近似と近くなります。価格を9まで上げると最低支出36で追加12、元の量3×値上げ5=15とは一致しません。

持ち帰る見方

• 最低支出の価格への微分は、同じ効用を守る購入量に対応する。
• 有限の値上げ差と一点での傾きを分ける。

次に広がる疑問

• 二財の価格反応を入れ替えると何が変わる？

出典

• Consumer Theory — MIT 14.121 (2015)（MIT OpenCourseWare / Alexander Wolitzky）https://ocw.mit.edu/courses/14-121-microeconomic-theory-i-fall-2015/ea9f11b15ace05e7bfd31d58ae48beb9_MIT14_121F15_2S.pdf

  確認日：2026-10-07