初めて当たるまで、平均何回試すことになる？

初めて成功する試行を数える

幾何分布は、初成功まで何回試すかという離散的な回数の模型です。成功する回を含めたXは1、2、3…を取ります。初回成功ならX＝1、二回失敗した後に成功ならX＝3です。「成功」と呼ぶことは結果が望ましいという評価ではなく、数えたい出来事の名称です。

基本の条件は試行が独立で、成功確率pが毎回同じことです。pは0より大きく1以下とします。練習で上達する、疲れて条件が変わる、限られた当たり券を戻さず引く、といった場面は、そのままこの模型の反復にはなりません。

時間と回数も別です。試行に何分かかるかが一定でなければ、平均の試行回数だけで平均の経過時間を決められません。次の出来事までの連続した時間を表す指数模型と区別し、幾何模型では一回、二回という整数の試行数を数えます。

何回目かの確率を求める

初成功がx回目なら、その前のx−1回が全て失敗し、最後の一回が成功です。独立な一定確率の条件で、確率は（1−p）のx−1乗×pとなります。x回目が成功する確率pだけでなく、それまで一度も成功していない条件を合わせて数えます。

成功確率0.2で初成功が三回目となる確率は、0.8×0.8×0.2＝0.128です。「三回目も成功」と「三回目が初成功」は違います。前者には一回目や二回目に成功している結果も含まれるので、同じ確率として読むことはできません。

三回を終えても成功していない確率は0.8の三乗＝0.512です。平均回数を知るだけでなく、ある回数までに終えられない可能性を考えたいときは、このように不発の連続を数えます。平均は締切でも最大回数でもありません。

平均の数え始めをそろえる

成功回を含めたXの平均は1/pです。成功前の失敗回数YならY＝X−1なので、平均は1/p−1＝（1−p）/pです。成功確率0.2のとき、試行数の平均5回と失敗数の平均4回は、同じ分布の数え方の違いです。

幾何分布という名前の表や計算ソフトでも、成功回を含む定義か失敗回数の定義かを先に確認します。最小値が1か0かを見ると、違いを確かめる手掛かりになります。初回成功の記録を0回と1回のどちらに数えるかが、式と平均に関わります。

実際に三回までしか試さない計画では、成功せずに終了する結果もあります。全ての人が初成功まで続けた記録ではないので、三回で打ち切った人を「初成功三回」として入れません。どの停止条件の回数を集計したかを確認して、模型のXと実際の記録を対応させます。

成功回と失敗回数を分ける（架空の例）

一回の成功確率を0.2に固定し、各回を独立とします。初成功が三回目の列は失敗、失敗、成功。この列では試行数X＝3、失敗数Y＝2です。初回成功ならX＝1、Y＝0になります。

模型の平均はXが1÷0.2＝5回、Yが4回です。三回までに成功する確率は1−0.8の三乗＝48.8％なので、平均5回という説明を「五回以内に必ず成功する」と読むことはできません。

持ち帰る見方

• 初成功を含む試行数と、初成功前の失敗数を区別する。
• 独立・一定pの模型で平均を計算し、期限の保証と分ける。

次に広がる疑問

• 回数を先に固定した場合、成功数の分布はどう変わる？

出典

• OpenStax Introductory Statistics 2e §4.4 Geometric Distribution（Barbara Illowsky / Susan Dean（著者原教材、OpenStax））https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-4-geometric-distribution

  確認日：2026-10-07