価格表の平均で、最大の利益も平均になる？

最も高い直線を選ぶ

生産案Aを固定すれば、製品価格が一円上がるごとに、その産出量だけ利益が増えます。投入価格を動かす場合も、固定した投入量に沿って費用が変わります。各案の利益は価格一覧の線形な関数です。

最大利益は、これらの直線の中で最も高いものを選んだ値です。低い価格では休止が最適でも、高い価格では生産案へ切り替わることがあります。切替えを含めた最適値の形を、単一の生産案の直線と分けます。

選択集合が凸であることと、最適値が価格について凸であることは違います。中間の生産量を作れない離散候補でも、同じ固定候補の線形評価の最大値には、この価格についての性質が成立します。

比較する価格一覧には製品と投入の両方を含められます。投入費用を正で書くと差し引く項になりますが、固定案の利益が価格の線形評価という点は変わりません。

一つの案の直線だけを描けば、価格平均での値と値の平均は一致します。最適値の差は複数の直線を選び分けた場合に現れます。

平均の価格表では、平均以下の最大利益

平均価格で最適な案をCとします。Cを元の二価格表で評価した利益は、それぞれの最大利益以下です。その二つの利益を平均すると、Cの平均価格での利益、つまり平均価格での最大利益になります。

したがって、平均価格での最大利益は各最大利益の平均以下です。半分ずつ以外の重みでも、同じ計算で凸性の不等式を得ます。左右の価格で別の案を選べる分だけ、最大値の平均が高くなりえます。

二価格表で同じ案が最適で、平均価格でもその案が最適なら、比較は等号になります。常に厳密な差が生まれるわけではありません。どの案へ切り替わるかを見れば、不等式の意味を確かめられます。

価格表の平均は、先に知っていた二つの価格を実現する一つの条件です。平均した利益はそれぞれの条件で再最適化した二つの結果です。二つの「平均」に含まれる意思決定を区別します。

Cが平均価格で最適なことと、両端でも最適なことは違います。両端でCを使う利益は、そこでの別の最適案より低い場合があります。

凸という言葉で、黒字を判断しない

家計の支出関数は、同じ満足を得る最低費用を選ぶため、平均価格での値が各最低値の平均以上になります。最大値を取る利益と、最低値を取る支出で、不等式の向きが逆です。

凸性は利益が必ず正になるという言葉ではありません。負の範囲がある関数でも凸にできます。また一つの投入価格が上がると利益が減ることと、価格一覧について凸であることも両立します。

実際に不安定な価格で得をするには、価格を知ってから案を切り替えられるか、切替費用があるかが関わります。この静的な不等式を、価格変動で必ず儲かる投資の説明へ延長しません。

事前に設備を固定する問題と、各価格で全候補から案を選べる問題では、使う候補が違います。最大利益の平均を読む際は、どの時点で何を選べたかを明記します。

架空の例では休止と生産の切替え価格が2です。そこでは利益関数に折れ目があり、一つの傾きで全価格域を表すこともできません。

架空の例：生産と休止の直線を比べる

候補は休止の利益0と、10個作り全費用20を払う案だけとします。製品価格1なら生産利益−10なので最大利益0、価格3なら生産利益10なので最大利益10です。二つの最大利益の平均は5です。

平均価格2では、生産も休止も利益0で、最大利益0です。0は5以下です。両端で価格に合わせて違う案を選んだ結果の平均を、平均価格で得る利益と混同しないようにします。

持ち帰る見方

• 固定案の線形評価の最大値が、価格についての凸性を持つ。
• 黒字や価格変動の実際の利益を保証する性質ではない。

次に広がる疑問

• 最適案が切り替わらない点で、利益の傾きは何になる？

出典

• Producer Theory — MIT 14.121 (2015)（MIT OpenCourseWare / Alexander Wolitzky）https://ocw.mit.edu/courses/14-121-microeconomic-theory-i-fall-2015/098a320a59e36314b0456cd175a4e8eb_MIT14_121F15_4S.pdf

  確認日：2026-10-07