最大利益の価格への傾きから、生産量や材料量が分かる？

売値一円の増加は、選んだ量に効く

ある価格で最適な案が製品を三個作るなら、製品の単価がほんの少し上がったとき、最大利益の最初の増え方は三個に対応します。選び直しを含めた値の傾きへ、元の最適数量が現れます。

利益関数をπ、製品価格をpとすると、πのpへの微分が供給量qです。利益の金額を一個あたり価格で微分するので、結果の単位は個です。これがHotelling補題の製品側の読み方になります。

固定された実行可能集合、価格受容、最適案の一意性や値関数の微分可能性といった条件を確認します。同率の生産案が切り替わる点では、供給量に対応する傾きが一つに定まらない場合があります。

包絡線の考え方では、最適点から案を微小に変える余地は利益の一階の改善を残しません。価格の直接の変更が、最適値の最初の変化を決めます。生産量を永久に固定しているための式ではありません。

最適案で量が変わっていても、最適値の一点での傾きは元の量で測れます。量の変化までゼロと仮定した計算ではないことを確認します。

投入費用の傾きには負号が付く

材料の単価rを正の費用で表すと、利益からr×材料量を引きます。その価格への傾きは−材料量です。製品の売値を上げる場合と、支払う費用を上げる場合の向きが反対になります。

純生産計画を価格との内積で書く教材では、投入側を負の符号で扱います。投入を正の費用率で表示する本例でも同じ内容ですが、どちらの記法かをそろえます。微分が負だから負の人員を雇うという意味ではありません。

材料を九単位使う最適案なら、単価の小さい上昇は利益をおよそ九倍だけ下げます。同じ式で賃金への局所的な傾きから、最適な労働投入を読むこともできます。人数と労働時間のどちらを単位にしたかは別に指定します。

投入価格変更は、投入の代替や産出の調整も起こしえます。局所的な利益の傾きが元の投入量で測れることと、変更後も投入量を据え置くことは同じではありません。

材料の費用率を一円/単位として書けば、負の微分の単位は材料単位です。負号を除いた量を、製品の個数と同じ単位として足しません。

大きな価格変更では、選ぶ案も変わる

消費者の最低支出でも、価格への傾きから最安の購入量を得るShephard補題があります。固定候補を線形な価格で評価する最適化という構造が、二つの関係を結びます。

ただし企業は利益の最大値、消費者は指定した満足の最低支出です。目的の向きと投入の符号を区別して使います。同じ名称の数量復元でも、通常需要を求めるRoy恒等式の効用微分の比とは別です。

価格変更が大きければ、途中で最適な量も変わります。元の供給量に全値上げ幅を掛けると一次近似にはなっても、最大利益の全差額を正確に測るとは限りません。

企業の利益が価格と一緒に動いた観察だけから、供給量をこの式で推定することもできません。技術、他の投入価格、選べる案が同時に変化していないことを、まず模型の条件としてそろえます。

例の売値が6.1のとき最適量は3.05です。増分の0.0025が元の量3による一次近似との差で、再最適化した量の変更を含みます。

架空の例：売値と材料単価で逆の符号

産出qを作るため材料q²が必要で、利益はpq−rq²、pとrは正とします。最適q=p/(2r)、最大利益π=p²/(4r)です。p=6、r=1ならq=3、材料9、利益9になります。

製品価格への傾きp/(2r)は3、材料単価への傾き−p²/(4r²)は−9です。pを6.1へ動かすと最大利益9.3025で、増分0.3025は局所近似3×0.1=0.3に近くなります。有限の差が完全に同じという式ではありません。

持ち帰る見方

• 最大利益の傾きから量を戻すとき、製品と投入の符号をそろえる。
• 一点の微分と有限変更の全差額を分ける。

次に広がる疑問

• 離散的な生産案でも供給の方向を判断できる？

出典

• Producer Theory — MIT 14.121 (2015)（MIT OpenCourseWare / Alexander Wolitzky）https://ocw.mit.edu/courses/14-121-microeconomic-theory-i-fall-2015/098a320a59e36314b0456cd175a4e8eb_MIT14_121F15_4S.pdf

  確認日：2026-10-07