選択肢が三つしかなくても、条件改善で大きい案へ進むと分かる？

水準ではなく、高い案を選ぶ得を比べる

ある条件で、案を大きくすると利得が増えるかを考えます。大きい案の利得から小さい案の利得を引いた差が、その変更の誘因です。条件が高くなると両案の利得水準が上がるだけでは、どちらを選ぶ得が強まるかは分かりません。

高い案x_Hと低い案x_Lについて、この差が条件θの上昇で小さくならないのが増加差分です。全ての高低案のペアと、全ての比較する条件で成り立つことを確かめます。一番大きい案と一番小さい案の一組だけでは足りません。

製品価格の高まりで多い産出の追加売上が増す例では、価格差に産出差を掛けると正になるため、この条件を確かめられます。価格が上がると総利益が上がるという水準だけの説明より、選択に直接関わる性質です。

滑らかな関数なら交差微分で表せますが、数個の案しかない場合には利得表の差を計算すれば十分です。微分できないこと自体を、方向が何も分からない理由にする必要はありません。

θx−費用の例では、条件は一人に与えられ、他人の選択で決まる均衡を解いていません。同じ利得差の考えでも、ゲームの相互反応とは別です。

離散的な案でも、比較できる

一つの順序付き選択変数で増加差分があれば、最適解の集合は強集合順序で増加します。特に最小の最適案と最大の最適案が、条件上昇で低い方へ戻らないという形で読めます。

この方向比較に、目的関数の凹性や費用の凸性を先に要求する必要はありません。固定された候補の最大値が存在し、利得差が条件とともに増えることを確認します。離散的な設備の大きさにも使える見方です。

三案0、1、2なら、0対1、1対2、0対2の三組があります。各組で高い案の利得から低い案の利得を引き、条件ごとに並べます。全三組で差が小さくならないことを見てから、最大利得の案を取り出します。

ある条件で全案が同率なら、どの案も最適です。弱い増加差分だけで、同率から任意に選んだ一要素が必ず単調になるとは限りません。最小・最大の選択を指定するか、集合のまま比較します。

三案の全ペアを調べた後に、それぞれの条件で利得最大を選びます。差の表は方向の根拠、最大値の表は実際に選ぶ案の答えです。

同率の最小案と最大案も残す

同率最適案が二つの条件で重なる場合、より高い条件で小さい方を選ぶこともありえます。その場合は選択が逆転する二案が両条件で共に最適であり、誘因の順位が逆転したこととは違います。

一定の案を長く選び、ある条件で大きい案へ飛び移っても単調性は成立します。弱い増加は毎回必ず量が増える意味ではなく、非減少の方向です。増え幅と切替えの条件は具体的な利得表で求めます。

選択集合も条件とともに変わる場合は、この固定集合の比較をそのまま使えません。新案の追加や利用禁止があるなら、条件の利得効果に加え、集合がどう動くかの情報を別に確認します。

ここで大きい案という順番は、社会的に望ましい順位ではありません。利益や満足の目的を指定した一人の選択の方向と、その結果をどう評価するかを分けます。

θ4では案0と2が同率0でも、案1の利得1に届かないので、最適の同率ではありません。単なる利得同率と最大値の同率を分けます。

架空の例：三案の全ペアを比較する

案xは0、1、2、費用は0、3、8で、利得をθx−費用とします。θが2なら利得0、−1、−4で案0、θ=4なら0、1、0で案1、θ=6なら0、3、4で案2が最適です。

1対0の利得差はθ−3、2対1はθ−5、2対0は2θ−8です。条件2→4→6で順に−1→1→3、−3→−1→1、−4→0→4となり、全三組で非減少です。最適案も0→1→2へ進みます。

持ち帰る見方

• 一人の外生条件への選択は、全高低ペアの利得差で方向を検算する。
• 同率解では最小・最大または最適集合を残す。

次に広がる疑問

• 利得差の大きさが分からなくても、方向を調べられる？

出典

• Producer Theory — MIT 14.121 (2015)（MIT OpenCourseWare / Alexander Wolitzky）https://ocw.mit.edu/courses/14-121-microeconomic-theory-i-fall-2015/098a320a59e36314b0456cd175a4e8eb_MIT14_121F15_4S.pdf

  確認日：2026-10-07