二人が物を交換するとき、改善できなくなる組合せは一つ？

二人の配分を一つの点にする

食べ物xと飲み物yがそれぞれ合計10あるとします。Aへxを3、yを7渡す点を決めれば、Bの量はxを7、yを3と決まります。二人の配分を別々の四つの数字で並べなくても、Aの二量で全配分を表せます。

横幅をxの総量、縦幅をyの総量とする箱がEdgeworth箱です。Aは一方の角から、Bは反対側の角から自分の量を読みます。箱の点は全量を配り切った状態であり、各財の残りが相手へ渡ることを表しています。

箱の中の別の点へ移ることが交換です。箱の広さは固定した総量なので、量を増産する効果はこの図に入りません。実現できる配分の集合と、それぞれが好む方向を重ねて、交換の余地を調べます。

交換したい比率を比べる

各人の限界代替率MRSは、評価を同じに保ちながら一財と他財を少量交換したい比率です。二人の比率が違えば、間の交換比率を使って双方を改善できる余地があります。滑らかな凸の好みの内点では、効率的な点でこの比率がそろいます。

独自例で二人ともu=√(xy)なら、MRSはy÷xです。Aの量が(x,y)、Bが(10−x,10−y)なので、一致はy÷x=(10−y)÷(10−x)です。内点で整理するとx=yとなり、Aの二財の量が同じになる点が効率的な候補です。

接線条件を使うのは両財が正の内点です。全財を一人が持つ角では分母ゼロや微分の限界にぶつかるため、別の配分で誰も悪くせず改善できるかという定義に戻ります。式の適用範囲を超えて角を捨てません。

効率的でも取り分は一つでない

効率的な点をつないだ契約曲線は、この同じ好みの例なら箱の対角線です。Aが2/2、Bが8/8でも、Aが5/5、Bが5/5でも効率的です。取り分は大きく違っても、誰も悪くせず誰かを良くする追加交換は残りません。

初期配分がAの3/7、Bの7/3なら、双方の効用は√21です。交換後Aがt/tを取る対角線上では、Aの効用はt、Bは10−tです。双方が初めより悪くならない範囲は、√21≤t≤10−√21に限られます。

契約曲線全体が、初期配分から自発的に受け入れられる範囲ではありません。効率性、初期配分からの改善、取り分の公平さは別の判定です。市場の価格や交渉ルールを入れれば、どの点を選ぶかという次の問題が残ります。

架空の例：効率的な点と受け入れられる点

総量はxもyも10、双方の効用は√(xy)です。初めの3/7と7/3から5/5ずつへ移ると、効用は双方約4.58から5へ上がります。改善後は対角線上なので追加の双方改善はありません。

対角線上でもAを2/2、Bを8/8にすればAは初めより悪くなります。効率的であっても、初期配分から全員が受け入れる移動とは限りません。角の0/0と10/10も効率的ですが、その分配をよいと評価する結論ではありません。

持ち帰る見方

• 総量を配り切っただけで効率的とは限らない。
• 契約曲線の全点と、初期配分から双方が受け入れる範囲を分ける。

次に広がる疑問

• 望む効率的配分を価格で支える条件は？
• 一部の人が抜けて別の配分を作れる？

出典

• Intermediate Microeconomics, Chapter 14: General Equilibrium（Oregon State University / Patrick M. Emerson）https://open.oregonstate.education/intermediatemicroeconomics/chapter/module-14/

  確認日：2026-10-07