全体の平均と一方の集団の平均から、もう一方の平均を逆算できる？

平均から合計へ戻す

平均60点、20人という二つの情報があれば、その集団の得点の合計は60×20＝1200点です。平均だけでは合計は決まりませんが、平均を計算した人数が分かれば、割る前の量へ戻れます。平均と人数を別々に見るより、両者が同じ対象を示すかを先に確かめます。

全体と一方の集団について合計を復元できれば、差し引きで残りの集団の合計を求められます。その合計を残りの人数で割るのが逆算です。全体平均から一方の平均を単に引くのではなく、最初に合計へ戻す点が肝心です。平均点の差は残りの平均点ではありません。

全体が二つの集団で漏れなく分かれていることが条件です。「午前受験者」と「初回受験者」のように同じ人が両方に入る分類では、人数の差をそのまま残り人数にできません。逆算を始める前に、各集団に誰が入り、全体をどう覆っているかを明らかにします。

人数を重みとして使う

順方向の計算では、二集団の合計を足して全人数で割ります。各平均に人数を掛けるので、全体平均に対する影響は集団人数に応じます。二つの平均を単純に足して2で割るのは、両集団の人数が同じ場合などに全体平均と一致する計算です。

逆方向でも同じ構造を使います。全体人数をN、一方の人数をnとすると、残りの人数はN−nです。残りの平均は「全体平均×N−一方の平均×n」をN−nで割った値となります。残り人数がゼロなら、もう一方という集団は存在せず、この割算はできません。

単位だけでなく、得点の定義もそろえます。同じ100点満点でも、一方の試験だけに加点がある、欠席者を0点に含める規則が違う、といった条件なら、同じ合計を分けた平均とみなせるかを確認します。別の尺度の平均を数式の中だけで統一したことにはなりません。

丸められた平均からの逆算

公表された平均が小数第一位で丸められていれば、平均×人数で得る合計も近似です。逆算した残り人数が少ないほど、全体合計に入った小さな丸め差を、少人数で割ることになります。表示されている桁を超えて、残りの平均を厳密に確定したと報告しないようにします。

正確な逆算が必要なら、丸め前の平均か集団別の合計を探します。人数が推定人数、平均が重み付き平均である場合も、この単純な人数掛けの例と同じ計算かを確認します。「何人で割った平均か」を確かめることで、使える算術と必要な追加情報が決まります。

得られた平均が測定範囲と合うかも、算術の確認に使えます。例えば全40人の平均を71点に替え、A30人を60点のままとすると、B10人は104点と逆算されます。100点満点ならこの入力は同じ集団の平均として成立しません。異なる試験、加点、人数の取り違え、丸めなど、どの前提が違うかを元の表で確かめます。

全40人から残り10人の平均を求める（架空の例）

全40人の平均が70点、そのうちA組30人の平均が60点とします。全体の合計は2800点、A組の合計は1800点です。残りB組10人の合計は1000点なので、平均は100点になります。

70−60＝10点をB組の平均とする計算は、合計と平均を混ぜています。この例では全員がAかBの一方にだけ属し、平均は丸めていません。100点満点なので、逆算結果が100点を超えるなら、入力や対象条件を確かめる手掛かりになります。

持ち帰る見方

• 全体平均と一方の平均は、人数を使って合計へ戻してから差し引く。
• 対象の重複、定義の違い、丸めの有無が逆算の条件となる。

次に広がる疑問

• 内訳が改善しても全体の割合が低下するのはなぜ？

出典

• OpenStax Introductory Statistics 2e: Measures of the Center of the Data（Barbara Illowsky / Susan Dean（著者原教材、OpenStax））https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data

  確認日：2026-10-07