三つ以上の集団の平均は、一組ずつ比べればよい？

三群全体の問いを決める

三種類の研修を受けた人の得点平均を比べるとします。一元配置ANOVAの帰無仮説は、三群の母平均がすべて等しいことです。対立仮説は、少なくとも一組の母平均が異なることになります。三群すべてが互いに異なる、という仮説ではありません。

標本平均は同じ母平均から抽出してもばらつきます。観測した平均が一番高い群を見つけることと、標本のばらつきを超える差の証拠を調べることは違います。どの群を比較対象にしたか、得点の尺度と測った時点もそろえます。

古典的な一元配置では、観測の独立性、各群の正規性、等分散などを仮定します。分類する要因はカテゴリ、結果は数値です。同じ人が三研修をすべて試したデータを、そのまま別々の独立群と扱う設計とは条件が異なります。

群の違いと群内の広がりを分ける

ANOVAは平均の検定ですが、計算には分散を使います。群間の平方和は群平均が全体平均からどれくらい離れるかを、群内の平方和は各観測が自分の群平均からどれくらい離れるかをまとめます。比較したい二種類のばらつきを分けています。

それぞれを自由度で割った平均平方を作り、F統計量を群間平均平方÷群内平均平方とします。平均の差が同じでも群内の広がりが違えば、この比較は変わります。人数が違う群を比べる場合も、人数の違いを計算へ反映します。

全群の母平均が等しいという模型なら、二つの平均平方は同じ母分散を推定する方向です。ただし毎回のF値が1になるという意味ではありません。標本の偶然で変動する値を、その模型の分布と比較して検定します。

全体の検定と個別比較を分ける

三群以上で対ごとのt検定を次々行うと、多数比較による第一種過誤の問題が生じます。ANOVAはまず全体の仮説を調べる一つの方法です。ただし全体が有意なら、その後のどんな比較も自由に行ってよいという意味にはなりません。

結果表の「群間」「群内」という表示は、どちらが高得点かという順位ではありません。群内の広がりが大きいときと、群平均が遠く離れるときを、元の得点の図で対応させます。平均と人数、群内の分散を残すとFの意味を説明できます。

どの二群の差を知りたいなら、比較対象を定めた方法を用い、差の大きさと区間を読みます。ANOVAのp値は「少なくともどこかに差がある」という証拠であり、最高平均の群がすべての他群より優れるとそのまま結論できる数値ではありません。

さらに群の違いが研修の因果効果かは、割付けなどの研究設計によります。有意性だけでなく、得点差が何点か、どんな対象にどの条件で得た結果かを確認します。全体の仮説、具体的な対比較、原因の説明を段階として分けます。

得点3群の群間・群内平方和（架空）

三群の得点をA＝4、5、6、B＝6、7、8、C＝8、9、10点とします。平均は5、7、9点、全体平均は7点です。群間平方和は3×(4＋0＋4)＝24、群内平方和は各群2の合計6です。

群間自由度2、群内自由度6なので、Fは(24÷2)÷(6÷6)＝12です。これを対応する分布で調べます。Fだけを使って、AとB、BとCなどすべての組の有意差を決めたことにはなりません。

持ち帰る見方

• 全体のF検定と個別比較の問いを区別し、前提を確かめる。
• ANOVA通過後の個別比較を無調整で自由に増やせるという意味ではない。

次に広がる疑問

• 全体の差と、事前に選んだ一組の差をどう報告する？

出典

• Introductory Statistics 2e §13.2 The F Distribution and the F-Ratio（Barbara Illowsky / Susan Dean（著者原教材、OpenStax））https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/13-2-the-f-distribution-and-the-f-ratio

  確認日：2026-10-07